北师大版五年级数学上册教材主要问题与解答

1. 为什么把“0”看作自然数？最小的一位数是几？最小的偶数是几？

建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括“0”。目前，国外数学界大部分都规定“0”是自然数。1993年我国颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100～3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括“0”。

把“0”作为一个自然数，数学家们给出了相应的解释。

我们知道“空集”是集合中一种最主要也是最基本的集合，也是我们在描述周围现象时经常用到的集合。把“空集”作为一个有限集合是很自然的，并且我们很容易理解用“0”来描述“空集”中所含元素的多少。如果把“0”作为一个自然数，那么“所有自然数”就可以刻画 “所有的有限集合元素多少”。而如果“所有自然数”不包括“0”，那么就没有自然数可以表示“空集”所含元素的多少。这是从“自然数刻画有限集合的基数的基本功能”方面说明了把“0”作为自然数的好处。把0作为自然数在数学上还有很多好处，详细可见2005年第1期《小学教学设计》中王尚志教授写的《为什么把“0”作为一个自然数》。

最小的一位数是几？首先，必须明确这不是一个在数学上有价值的问题，因此，在教学和评价中不要讨论这样的问题。如果学生提出，教师也可以建议他不必思考这个问题。第二，最小的一位数是几，是一个长期有争议的问题，在数学领域内部一直没有形成统一的看法。具体可参考2006年第10期《甘肃教育》张朝阳的文章《全都是“0”惹的祸》。第三，如果我们把最小的几位数看作数位的功能，最小的一位数是1。

最小的偶数是几？回答这个问题首先要明确所讨论的数的范围。在我们的教材中，是在非零的自然数范围内，这样最小的偶数是2。以后到了初中阶段，学习了有理数，我们会知道，－4,－6这样的数也是偶数。这样，在有理数的范围内就没有最小的偶数。鉴于这样的变化，我们认为对此只要界定清楚研究的范围即可，不必作为学生记忆和考查的内容。

2.   教材在求最大公因数和最小公倍数时，为什么不出现短除法？
教材在编排求两个数的公因数与公倍数等内容时，没有把“用短除法分解质因数”的方法作为求最大公因数或最小公倍数的基本方法，而是用列举的方法（参看教材）。
首先需要明确的是，教材提供的列举法不仅在解决实际问题中用途广泛，而且在数学中也是很重要的，简单明了，几乎所有的学生都能够理解。对于求最大公因数和最小公倍数的问题，使用这个方法是基于学生对最大公因数和最小公倍数的理解的自然方法，既有利于对概念本身的理解，又简单易学。而短除法是基于分解质因数，学生理解起来比较困难，如果要求每一个学生掌握，学生要花费大量精力，有的学生只好去机械记忆形式，结果反而不利于对最大公因数和最小公倍数等基本概念的理解。
另外，新世纪小学数学教材根据《标准》，对“倍数与因数”“分数加减法计算”等内容的要求进行了适当的限制。如，求最小公倍数，只要求在1～100的自然数中，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数；再如异分母分数加减法，两个分数的分母一般不超过10等。也正因为数据比较小，利用列举的方法找出公因数或公倍数并不麻烦。
对于教材为什么没教短除法，一线老师也有很多体会，下面是从《新世纪小学数学》杂志中摘录的一段，供大家参考。

甲老师的观点：教材这样处理是有道理的。以前总是认为列举法是一种很笨的方法，从来不主张学生用，只教自己认为最简便最有效的方法，比方说找最大公因数就用短除法。可是这套教材却提倡方法多样化，而且很重视列举法，用了这本教材后才发现：列举法其实也是一种不错的方法，它用途广泛、直接、明了、易懂、不易遗忘，特别适合思维能力弱一点的学生，所以我们要消除对列举法的偏见。老师心目中最好的方法不一定适合每一个学生，说到底，择优要因人而异……我没有教短除法，其实还抱有一种实验的心理，因为我很想看看，严格按教材执行教学、不教短除法，少一样知识，究竟会不会使学生受到损失。

乙老师的观点：教材这样的编排应该是有考虑的。如果是重要的、核心的、而且对学生的后续学习非常有用的数学知识，教材一定会呈现的；像短除法这一类知识，虽然也有用，但它不是核心的、特别重要的数学知识，以后也很少用到，所以教材将其删去了，目的是为了让学生节约更多的时间和精力，用来学习更有价值的知识。我们应该领会教材的编写意图，慢慢学会选择。有用的知识这么多，我们总不能通通都教给学生吧，所以选择就显得非常重要了。这是我教这套教材后的一点点体会。（《短除法——教？还是不教？》易虹辉，《新世纪小学数学》，2006年第2期）
3.  教学中要不要讲“整体1”？

首先需要明确的是，对“整体1”的理解是重要的，但关键是通过什么样的素材、设计、什么样的活动使学生体会“整体１”。在新世纪小学数学教材中，没有“整体1”的明确说法，但教材设计了丰富多彩的活动，使学生在具体情境中体会“整体1”的意义。比如，教材第34页“分数的再认识”，通过比较铅笔数、所看的书的页数，使学生体会到所讨论的“整体1”不一样，结果就不一样。再如，教材第74页设计的分数墙的内容。

    在以后分数应用问题的学习中，教材还通过画图等形式帮助学生分析数量关系中的“整体1”。

那么为什么教材没有出现“整体1”的名称呢，这主要是考虑过去在这一问题上的不当处理所造成的学生学习上的困难。过去教材中出现“整体1”的名称，有的教材还给出了所谓的定义，这就使得不少教师在教学中要求学生背诵这一定义，考试中要考这一定义的叙述，到了分数应用题要套用题型来解决问题。这样做不仅给学生造成了较大的困难，也容易使将学生的大量精力放在记忆上，反而忽视了在具体情境中学生对“整体1”的认识，忽视了学生根据分数意义的理解来解决实际问题的能力。为了避免这些教学中的问题，教材回避了“整体1”的说法，实际教学中，教师可以结合具体的情境出现这一名词，但不必给它下所谓的定义，也不要在评价中出有关的问题。

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