2007年台湾数学能力竞赛决赛
笔试一
1、试求使为整数的正整数解．

2、为一整系数多项式，a、b为两相异整数，，，…，，，，…，，若、，且，，试证：当时，．

3、锐角，上有一点D，上有一点E，上有一点F，试证：存在唯一一组解，使，，．

笔试二
1、给定与其外接圆，令P为劣弧上之一点，异于B、C，连交于Q，试求的最小值．（）

2、有一正整数列1，2，3，…，2n－1、2n，现从中挑出n个数，从大到小排列依次为a1，a2，…，an，另n个数从小到大排列依次为b1，b2，…，bn．
求之所有可能的值．

3、a、b、c为正实数，试证明：．

2007年台湾数学能力竞赛决赛
笔试一详解
1、解：引理：，只要不为有理数即可，
设为一有理数，但皆不为有理数．
因
则唯一有理数，矛盾．
故，令，，，
为正整数，则或2或3，故共有8组解